Memo_Ever Since Gompertz

Olshansky S.J., Carnes B.A., 1997, “Ever Since Gompertz”, Demography, 34(1), 1-15.
Olshansky系芝加哥大学医学系教授，他在这篇论文讨论了自Gompertz发现死亡率定律以后，学术界的后续发展，这篇文章很好地补充了Preston（1996）更多就人口学家们研究的综述，将之拓展至自然科学的相关进展，尤其是生物人口学方面。
这篇论文提醒社会科学背景的学者，其一，就死亡率研究而言，社会科学与自然科学同属于实证科学之下，Gompertz死亡定律广泛存在于各个物种，其二，死亡率应该被分解为内因与外因的共同作用，随着公共卫生进步，人类死亡率事实上已经与自然界生物完全不同，外因逐渐减少，而内因逐渐增多，人类有这个认识过程事实上经过了近百年的探索，而这也是最近几十年学术界越来越关注衰老（Aging）影响的原因。

一、Gompertz的死亡率定律

1825年，Gompertz基于19世纪英国、瑞典和法国的20岁至60岁人群死亡记录，提出了一个简单的死亡率随年龄增长而呈指数增长的公式，后被称为Gompertz模型（或方程）。在这里，我记录了来自维基百科的现代公式如下。

$$f(t)=a \mathrm{e}^{-b \mathrm{e}^{-c t}}$$

维基百科中的定义是，公式中的a是渐近线，当时间t趋于无限，上式即简化为a；b控制了上式在坐标轴左右的移动；c为增长率，维基百科记录了更详细的，上述三个参数变动的图形变动情况。
事实上，这个公式来源于作为精算师Gompertz的困惑，即为什么人们的死亡年龄模式是一致的，他试图提出更一般性的认识。这个工作的最初版本是1820年的一篇文章，观察到死亡率增长在短时间内是几何数级的，而年龄增长仍是算术级的^[1]。其后，在1825年的文章，其进一步发现，15岁至55岁的人口，在连续10年年龄间隔之间的自然对数差异几乎相同，即死亡率随年龄算数级增长却呈几何级增长，Gompertz在1862年进一步修订上文公式。此外，1860年Gompertz也发表了一篇文章，同样由Makeham总结出版，重申了Gompertz方程的参数尽管应在很长一段时间内是常数，但并不是一成不变的，为公式又打了一块补丁。
由于Gompertz最初是为了精算出终身年金保费，其将公示也转换为了另一个叙述，即Makeham总结的“抵消毁灭（死亡）的力量，在同等时期会失去同等比例。”Gompertz不仅试图概括其经验发现，也试图提出一定的生物学解释，即生命有两个力量，一个是主要、基础的力量，另一个辅助、维持整合的力量，他进一步推测存在一个摧毁辅助力量的存在。如果存在这种力量对所有人一视同仁，那么所有人应该有相同的预期寿命，这很显然是不合逻辑的，所以他进一步打了一个补丁，可能存在两种力量，一是偶然性（Chance）、一是承受死亡能力的衰弱，比如同样的消化不良问题，有人更注意所以躲过了，有人没注意所以死了。由于时代限制，Gompertz不知道基因而认为所有人可能是被一视同仁地被不断削弱，但偶然性的引入暂时解释了每个人的死亡时间为何不同。

二、Makeham的死亡力理论

Makeham发展了Gompertz死亡定律。有两个贡献。
第一，其提出，Gompertz公式中的生存概率对数不是以均匀的几何级数增长的，在较高年龄会增长的更快，为此，他引入了一个常数来解决这个问题。即“生存概率从（自然）对数呈几何级数的序列中，以一定的常数比例增加或减少。”
第二，其提出，部分死亡力理论，一些“疾病的强度完全取决于生命力的逐渐减弱。”这实际上是上一个经验发现的延伸，老年人死亡率增速更快，可能与肺活量等下降有关。

三、基于群体：寻找死亡率定律的历史

时间进入20世纪初，学术界进一步寻找Gompertz死亡定律的生物学解释，以及为什么很多非人类物种死亡率也符合Gompertz死亡定律。早期探索者如Jacques Loeb（1916）、Brownlee（1919）、Brody（1924）、Greenwood（1928）、Raymond Pearl（1921）等。
这其中，Loeb的观点与现代活力说（the Modern View of Vitality）（Shock 1961）、衰老的自由基假说（Free Radical Hypothesis of Aging）（Harmon 1992）已很近似。Brownlee、Brody、Greenwood则是第一批用不同动物的实验，去检验Gompertz定律，均认为生命表可能反映了潜在的生物过程。
比较有意思的是Pearl，他是第一位将果蝇与人类死亡率进行比较的学者。人类的$L_0$大约是15岁，果蝇为1天，当然这个实验并不严谨，因为当时实验条件很难控制二者是否同一起始时间，但他发现了老年人类的生存曲线比果蝇更有利，因而推测人类生存曲线受科学进步已经发现了扭曲。随后，其进一步实验，将起始点设为$L_0$，即人类12岁、果蝇1天，终点设为1‰存活率处，并且完善种群间缩放方法，其发现果蝇97天相当于人类86年，人类1年相当于果蝇1.279天寿命，且二者$l_(x)$曲线基本相同。至此，Pearl认为，尽管二者生存条件截然不同，但Gompertz死亡定律是广泛存在的。尽管日后Pearl认为各个种群的死亡曲线从未完美重叠，其认为可能的原因正是Makeham在1867年提出的，无法将死亡原因划分为内因（Intrinsic）和外因（Extrinsic），这主要是时代的限制。
在Pearl以后，生命表的生物学研究开始淡化，取而代之是各种数学模型的改进了。这在数理人口学的发展中事实上也有提及，在1950年代，有学者绘制了如图所示的各种群的生存曲线，通过推导找到了一个反映函数$L_(a)$形状的常数H，即生存函数的熵。Keyfitz（1985）将其公式总结如下。

$$H=-\frac{\int_0^\omega[\ln l(a)] \cdot l(a) \mathrm{d} a}{\int_0^\omega l(a) \mathrm{d} a}$$

对不同物种基于生命表计算的H进行绘制，如图1所示。果蝇接近H=0，牡蛎接近H=1，水蛭接近H=1/2，现代人类H大约为0.2左右。换言之，这显示种群间确实存在一些差异，但Gompertz死亡定律仍然有较强的解释力。

四、生物人口学

与上一节更多试图讨论死亡率的群体模式不同，在这一节，Olshansky主要叙述了对死亡率的另一种理解，尤其是基于个体的生物人口学解释，以及针对内在死亡率的问题。

（一）生命表的生物学：基于群体的辐射实验控制

与前述一致，Gompertz仍然可以被视为生物人口学之父，尝试性提出了一些死亡率的生理解释，Makeham则进一步将死亡率氛围内因和外因，是死亡率研究的关键节点。Brownlee（1919）、Greenwood（1928）Brody（1924）、Deevey（1947）等人仍然是先驱，但Clark（1950）开始强调“实践”的重要性。随着对死亡率定律讨论的减少，取而代之是更实际更实践的方式来理解死亡率模式，即通过使用生理学的、实验性加速衰老的方法，通过暴露在辐射里来检验衰老过程。生命表中的死亡率数据可以被用来量化辐射暴露的影响，且早期研究普遍假定辐射加速衰老，但没有引入新的变量。
这一时期的代表如George Sacher（1950），在低日剂量率下，对照组和暴露人群的平均生存时间的周期性差异与暴露强度成正比，同时，其使用平均生存时间来估计累积致死量函数（Cumulant Lethality Function）以比较跨物种的相对致死量情况。1952年，其进一步确定了生理过程与辐射损伤之间的数学关系，进而推论生物确实存在一个致死量的边界，而这种生物学模型自然便导出了Gompertz所谓的死亡定律。Sacher属于第一个通过生理实验来理解死亡率的科学家，但受限于时代，其认为实验室观察完全无法解释人类的死亡率情况。
此后，Failla（1958）延续Brody（1924）将活力定义为死亡率倒数，并以之表达Gompertz方程后，提出寿命结束时活力曲线的下降可能是细胞数量的减少，细胞功能随年龄增长而退化，他将退化归因为自然突变，且每年每个细胞都有突变率，其进而计算认为，不同物种每代的突变率近似。因此，短命物种每单位时间的突变率要高于长命物种，物种的基因决定了物种的突变率，进而决定了物种的死亡率。Szilar（1959）则发展了关于衰老过程本质的理论，其基础是累积的严重损伤会干扰细胞的功能能力，其理论与Falilla近似，但更为定量，提出了如何估计细胞的存活率、临界阈值、细胞突变数量以及每个突变预期寿命的减少。此外有Bernard Strehler and Albert Mildvan（1960）、Strehler （1959）、Grahn（1970）等不再赘述。
总之，60年代的死亡率研究基本延续着Sacher开创的辐射研究，由于此时期科学技术的进步，Pearl当年未完成的跨物种比较，因干扰实验的条件越来越可以被控制，跨物种比较有较大发展。

（二）基因研究：基于个体异质性的解释

时间进入60年代以后，由于医学人口学、人口流行病学的发展，另一个生物人口学的基础出现了，这有助于我们理解为什么跨物种的衰老死亡率仍然很难比较。
这方面，Weiss及其同事（1990；1998）是早期探索者，尤其是基因的异质性，这对理解人口学家们没有观察到的异质性有很大帮助，自此，人口学和遗传学开始合作。扼要讲，这一脉络主要在回应，衰老发生的原因、永生为什么不能实现。
对于大多数生物，活到繁殖年龄已经很少，绝大部分出生即死亡，绝大多数死亡与衰老无关的外部力量。因此，相对与潜在寿命的早期繁殖，几乎是所有物种繁殖的主要策略。在现代进化生物学中，通过差异化的个体繁殖的成功，选择（Selection）改变了种群的基因组成，一般讲，在繁殖前的改变机会比较大，繁殖后的改变机会开始减少。
因此，基于年龄的选择效果，各物种潜在寿命可以被划分为繁殖期前、繁殖期及繁殖期后。只有在繁殖期后，衰老的力量才开始显现，即内在死亡特征。也是因此，在繁殖期后的改变已经超过了自然选择，所以衰老及相关疾病，不是选择来延长生存期，而是可以被视为选择在繁殖期中一致的、无意的后果。在这个逻辑下，当代观察衰老的影响变得可行。
Olshansky总结道，已往进化生物学家只关注个体死亡，而生物人口学试图解释种群死亡模式则缺乏生物基础，二者结合为理解死亡率提供了新的途径，换言之，死亡定律是存在的，且基于衰老从个体到群体的理论，死亡定律存在一个基于生物学的解释。

五、老年段的非Gompertz死亡率

最后，Olshansky在本节讨论了Gompertz模型在老年段的不适用，80岁、尤其是85岁以后上升速度变慢，许多学者均认识到Gompertz定律仅适用于特定年龄段。
Olshansky澄清认为，Gompertz本人一直对其定律有年龄段限定，且很多物种在其绝大部分寿命中确实随年龄有明显上升，某些特定物种可能在繁殖期后并不遵循死亡率随年龄指数上升。

六、结论

Olshansky在本节讨论了，Gompertz时代对人类寿命有无尽头，受其时代的宗教影响而含混，今天则受公共卫生技术的进步而含混，对内在疾病的不断克服让人们相信生命可能没有生物学限制。但另一方面，各种更强的毒株出现，也表明公共卫生可能有消极影响。但总之，现代公共卫生使现代人类与一百年前截然不同，二十世纪外在死亡率的降低，揭示了人类更“纯粹”的内在死亡率。
就生物人口学的基本论点，可以被总结为：第一，外在死亡率，产生了各物种对与潜在寿命相对早期的生殖需求。第二，性成熟的年龄决定了基因控制的生长发育模式。第三，差异生存和繁殖成功发生在繁殖期内（即自然选择有效性的梯度）。第四，选择梯度提供了一种机制（即基因表达），这种机制会影响个体的内在死亡率。第五，个体之间的遗传差异，导致群体内固有死亡率的年龄分布（即固有死亡率特征）。第六，作用于物种的一组共同的进化力（点1-5）表明，内在死亡特征的差异可能只是时间尺度的问题，即很可能存在一种适用于许多物种的死亡定律。

参考文献

[1] 查瑞传，2004，数理人口学，北京：中国人民大学出版社。
[2] Keyfitz N., 1985, “Applied Mathematical Demography”. 2nd ed edition. New York: Springer.

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1. 算数级数，即从第二项开始，每一项都是由前一项加上一个常数构成的序列。几何级数，即从第二项开始，每一项都是由前一项的多少次方。比如，马尔萨斯人口论的前提是，人口呈几何级数增长；食物呈现算数级数增长。 ↩︎