Memo_The Age Separating Early Deaths from Late Deaths

Zhang Z., Vaupel J., 2009, “The Age Separating Early Deaths from Late Deaths”, Demographic Research, 20, 721-730.
张震与Vaupel在这篇论文中发展了e(t)e^{\dagger}(t)是否存在一个年龄阈值,在理论上可以讨论死亡率的压缩与扩大,以及讨论过早死亡(Premature Deaths)与过晚死亡(Late Deaths)的问题。后续Aburto等人进一步将根据e(t)e^{\dagger}(t)计算的年龄阈值视为绝对年龄阈值,将根据Hˉ(t)\bar{H}(t)计算的年龄阈值视为相对年龄阈值,将二者之间的关系在数理形式上予以进一步的确定。
本篇论文年龄阈值aa^{\dagger}、以及后续aHa^{H},均可以通过Aburto等人(2019)的R代码进行复现,并在中国社会中进行实证应用,这一指标很好理解,且具有很好的数学性质,但目前国内学术界仅张震在全国层面使用,因此,省一级的讨论可以进行便捷且必要的拓展。

一、数理人口学的基础公式

在对该论文贡献及其后续进展作理解前,有必要扼要介绍已有数理人口学家们已经推导了生存函数的熵,即反映函数l(a)l(a)形状的常数Hˉ\bar{H},其公式如下。这个公式连接了生命表熵与寿命不均两个关键指标。

Hˉ(t)=0ω[lnl(a,t)]l(a,t)da0ωl(a,t)da=0c(a,t)H(a,t)da=e(t)eo(t)\bar{H}(t)=-\frac{\int_0^\omega[\ln l(a,t)] \cdot l(a,t) \mathrm{d} a}{\int_0^\omega l(a,t) \mathrm{d} a}=\int_0^{\infty} c(a, t) H(a, t) d a=\frac{e^{\dagger}(t)}{e_o(t)}

(1) e(t)=0ω[lnl(a,t)]l(a,t)dae^{\dagger}(t)=-{\int_0^\omega[\ln l(a,t)] \cdot l(a,t) \mathrm{d} a}是Vaupel与Canudas Romo(2003)年界定的,由于死亡造成的寿命不均(Life Disparity)或寿命损失(Number of Life-years Lost as a Result of Death),可以被认为是成员年龄分布的离散情况。
(2) eo(t)=0ωl(a,t)dae_o(t)={\int_0^\omega l(a,t) \mathrm{d} a}t时刻出生时的预期寿命。
(3) c(a,t)=l(a,t)0l(x,t)dxc(a, t)=\frac{l(a, t)}{\int_0^{\infty} l(x, t) d x}是人口年龄结构。
(4) H(a,t)=0aμ(x,t)dxH(a, t)=\int_0^a \mu(x, t) d x是到年龄a的累积风险,H(0,t)=0H(0, t)=0,其中μ(x,t)\mu(x, t)是死亡力(或者说x岁的死亡率)。

随后,根据下式,e(t)e^{\dagger}(t)被证明可以进一步推导为(2)式。

(1) e(a,t)=al(x,t)dxl(a,t)e(a, t)=\frac{\int_a^{\infty} l(x, t) d x}{l(a, t)}t时刻、a岁的剩余预期寿命。
(2) d(a,t)=l(a,t)μ(a,t)d(a,t)=l(a,t)\mu(a,t)是死亡人数的分布,或者说在t时刻、a岁死亡的人数,d(a,t)d(a,t)有时也被写成f(a,t)f(a,t),其中l(a,t)=e0aμ(x,t)dxl(a, t)=e^{-\int_0^a \mu(x, t) d x}是存活至a岁的概率,且l(0,t)=1l(0,t)=1

e(t)=0d(a,t)e(a,t)dae^{\dagger}(t)=\int_0^{\infty} d(a, t) e(a, t) d a

二、e(t)e^{\dagger}(t)年龄阈值aa^{\dagger}的公式

如上所述,通过上式及相应变换,就可以得到a岁死亡率下降时,e(a,t)e^{\dagger}(a,t)Hˉ(a,t)\bar{H}(a,t)的变动情况。其中,张震与Vaupel在这论文中将𝑒†(𝑡)的变动总结为下式。

k(a)=1(a)desdss=0=e(a)+e(a)(H(a)1)k(a)=\left.\frac{1}{\ell(a)} \frac{d e_s^{\dagger}}{d s}\right|_{s=0}=e^{\dagger}(a)+e(a)(H(a)-1)

其证明了,其一,如果Hˉ(t)<1\bar{H}(t)<1K(0)<0K(0)<0,且存在一个a>0a^{\dagger}>0使K(0)>0K(0)>0a>aa>a^{\dagger}K(0)<0K(0)<0a<aa<a^{\dagger}。当a=aa=a^{\dagger},可以计算出一个阈值年龄。Aburto等人亦将之总结为H(aH)+Hˉ(aH)=1H\left(a^H\right)+\bar{H}\left(a^H\right)=1。在阈值年龄下的变动会减少寿命不均,在阈值年龄上的变动会增加寿命不均。或者说,如按阈值年龄分界,可以分解为年轻人死亡率的压缩、老年人死亡率的扩大,这两个部分的平衡决定了人口死亡率是压缩还是扩大。当限定在e(0)e^{\dagger}(0)时,也可以理解为阈值年龄前的早期死亡率、阈值年龄后的晚期死亡率,分别对e(0)e(0)的贡献。
其二,如果Hˉ(t)=1\bar{H}(t)=1K(0)=0K(0)=0,0岁时任何变动不增加寿命不均,其余年龄变动均增加寿命不均。
其三,如果Hˉ(t)>1\bar{H}(t)>1K>0K>0,任何年龄变动均增加寿命不均。
事实上,张震与Vaupel通过对HMD 2009年中1840年以来5830张生命表、人类生命表数据库(Human Life-Table Database)2009年中3403张生命表的汇总计算发现,所有人类生命表均是Hˉ(t)<1\bar{H}(t)<1k(0)<0k(0)<0。当然,其他物种的Hˉ(t)\bar{H}(t)有可能会大于1。

三、Hˉ(t)\bar{H}(t)年龄阈值aHa^{H}的公式

仍然通过第一部分提及的基础公式,Aburto等人推导了aHa^{H}的公式如下,不再具体赘述。

H(aH)+Hˉ(aH)=1+HˉH\left(a^H\right)+\bar{H}\left(a^H\right)=1+\bar{H}

aa^{\dagger}aHa^{H}相比,主要在于前者没有强假定,后者假定了死亡率遵循Gompertzian定律。具体而言,aa^{\dagger}值始终低于e0e_0,尤其在早期人类社会,由于婴幼儿死亡率很高,aa^{\dagger}始终也处于低值,基本随着e0e_0的抬升一并抬升;aHa^{H}则在1950年代以前一直高于e0e_0,且二者差异很大,直到最近二、三十年,才开始低于e0e_0。二者的差异表明aa^{\dagger}作为绝对指标与aHa^{H}作为相对指标,但随着现代死亡率年龄模式大致遵循Gompertzian,二者事实上均反映了老龄化趋势下的高e0e_0的现代社会情况。

参考文献

[1] Vaupel J.W., Canudas Romo V., 2003, “Decomposing change in life Expectancy: A Bouquet of Formulas in Honor of Nathan Keyfitz’s 90th Birthday”, Demography, 40(2), 201-216.
[2] Aburto J.M., Alvarez-Martínez J.-A., Villavicencio F., et al., 2019, “The Threshold Age of the Lifetable Entropy”, Demographic Research, 41, 83-102.